Процес узагальнення протікає шляхом порівняння двох або більше об’єктів за їх спільними істотними ознаками з метою отримати узагальнений висновок (емпіричне узагальнення). Паралельне порівняння характеризується тим, що відразу, одночасно подаються декілька зразків, що відображують усі або найбільш типові варіанти з даної сукупності, щоб на підставі їх порівняння зробити вірне узагальнення. Тут навчальна задача полягає в тому, щоб на підставі паралельного вивчення поданих зразків виявити узагальнений спосіб дії, тобто алгоритм розв’язування задач даного класу. Щоб це відбувалося слід пропонувати учням такі зразки, в яких відображуються типові випадки для даної теми, в тому числі контрастні зразки, які вивчаються в подальшому навчанні. Це необхідна умова подолання вузького узагальнення.

Е.Н.Кабановою-Меллер доведено, що «двофазні узагальнення» на підставі протиставляючої абстракції найбільш ефективні в навчальному процесі: перша фаза узагальнення - називаються і узагальнюються істотні ознаки, друга фаза узагальнення - відокремлюються і узагальнюються неістотні ознаки. В.Н. Осинська пропонує методичну схему двофазних узагальнень, яка містить таку послідовність дій:

  1. співставити задані предмети;
  2. виділити в них спільні істотні ознаки;
  3. сформулювати загальні ознаки у вигляді першого висновку (перша фаза);
  4. співставити ті ж самі предмети;
  5. виділити неістотні ознаки і визначити межи їх варіації;
  6. сформулювати висновок:
  7. узагальнити неістотні ознаки (друга фаза).
 

Під час вивчення теми «Повторення матеріалу» існує можливість узагальнити усні прийоми додавання і віднімання в межах 1000: узагальнити прийоми додавання і віднімання двоцифрових чисел і перенести їх на випадки додавання і віднімання трицифрових чисел. Для додавання і віднімання двоцифрових чисел застосовуються обчислювальні прийоми:

  1. додавання і віднімання по частинах;
  2. порозрядне додавання і віднімання;
  3. прийом округлення.
 

Крім того, існує можливість познайомити учнів з раціональними прийомами додавання і віднімання. Розглянемо докладно методику узагальнення обчислювальних прийомів додавання і віднімання в межах 1000.



Узагальнення прийому додавання і віднімання по частинах


Завдання 1. Уважно розгляньте приклади, подані у таблиці:

Приклади на додавання та на віднімання
 
  • Порівняйте приклади в лівій частині таблиці. (Ці приклади відрізняються тим, що одні приклади на додавання, а інші – на віднімання. Спільне те, що і при додаванні і при віднімання відбувається перехід через розряд)
  • Порівняйте приклади в правій частині таблиці.(Ці приклади також відрізняються арифметичною дією: додавання і віднімання. Але приклади і на додавання і на віднімання без переходу через розряд)
  • Уважно розгляньте приклади на додавання в лівій частині таблиці. Що цікавого ви помітили? (Це різні способи знаходження суми чисел 54 та 28)
  • Скількома способами знайшли суму 54 та 28? (Трьома)
  • Як виконали додавання у першому випадку? (Число 28 замінили сумою розрядних доданків, і до 54 спочатку додали 20, а потім 8. Додавання виконали по частинах)
  • Як виконали додавання у другому випадку? (Число 28 замінили сумою зручних доданків 6 та 22; спочатку до 54 додали 6, щоб отримати кругле число, а потім додали 22. Додавання виконували по частинах)
  • Порівняйте обидва випадки між собою. Що в них спільне? (Спільне, те що число 28 додавали по частинах)
  • Що відмінне? (Число 28 в першому випадку заміняли сумою розрядних доданків, а в другому – сумою зручних доданків)
  • Який висновок можна зробити? (Числа можна додавати по частинах, розкладаючи одне число на суму – це істотна ознака прийому додавання по частинах. При чому це може бути або сума зручних доданків; або сума розрядних доданків (вид суми – це неістотна ознака прийму додавання по частинах)
  • Чи можна було перший доданок 54 замінити сумою та додати по частинах? (Так, числа можна додавати в будь-якому порядку: можна 28 додавати частинами або 54 додавати частинами. Число 54 можна було замінити або сумою розрядних доданків: 50 + 4, або сумою зручних доданків: 2 + 52)
  • Який висновок можна зробити для додавання по частинах? (Можна замінювати сумою будь-який доданок. Який по порядку доданок замінюється сумою – це неістотна ознака прийму додавання по частинах)
  • Отже при додаванні по частинах істотним є заміна одного з доданків сумою; неістотною є вид суми та порядок доданка, який нею замінюється.
  • Скількома способами знайшли різницю чисел 54 та 28? (Трьома)
  • Як виконали віднімання у першому випадку? (Число 28 замінили сумою розрядних доданків, і із 54 спочатку відняли 20, а потім 8. Віднімання виконали по частинах)
  • Як виконали віднімання у другому випадку? (Число 28 замінили сумою зручних доданків 24 та 4; спочатку із 54 відняли 24, щоб отримати кругле число, а потім відняли 4. Віднімання виконували по частинах)
  • Порівняйте обидва випадки між собою. Що в них спільне? (Спільне, те що число 28 віднімали по частинах)
  • Що відмінне? (Число 28 в першому випадку заміняли сумою розрядних доданків, а в другому – сумою зручних доданків)
  • Який висновок можна зробити? (Числа можна віднімати по частинах, розкладаючи від’ємник на суму – це істотна ознака прийому віднімання по частинах. При чому це може бути або сума зручних доданків; або сума розрядних доданків (вид суми – це неістотна ознака прийму додавання по частинах)
  • А можна було, як при додаванні по частинах, замінити сумою не друге число – від’ємник , а перше – зменшуване? (Ні, не можна. Числа не можна віднімати в будь-якому порядку. Тому, лише від’ємник можна замінити сумою – це істотна ознака прийму віднімання по частинах)
  • Отже при відніманні по частинах істотним є заміна від’ємника сумою; а неістотним є вид суми – або це сума розрядних або зручних доданків.
  • Ми визначити істотні та неістотні ознаки прийому додавання і віднімання чисел по частинах для випадків з переходом через розряд. Узагальнимо прийом виконання дій по частинах для випадків додавання і віднімання з переходом через розряд:
Приклади на додавання та на віднімання
 
  • Уважно розгляньте приклади на додавання в правій частині таблиці. Що цікавого ви помітили? (Це різні способи знаходження суми чисел 54 та 23)
  • Прокоментуйте перший спосіб розв’язання. (Число 23 замінили сумою розрядних доданків: 20 та 3. До числа 54 спочатку додали 20, а потім 3. Додавання виконали по частинах)
  • Чи можна було число 23 замінити іншою сумою? (Число 23 можна замінити сумою зручних доданків. Зручними доданками буде 6 та 17)
  • Але добір зручних доданків декілька складний! Тому, у випадках додавання по частинах без переходу через розряд, краще застосовувати лише один вид суми – суму розрядних доданків.
  • Чи має значення, яке число додавати по частинах? (Ні, можна число 54 замінити сумою розрядних доданків: 50 та 4 та почергово додати до 23)
  • Визначте істотні та неістотні ознаки додавання по частинах без переходу через розряд. Що цікавого ви помітили? (Вони такі самі, як і для додавання по частинах з переходом через розряд!)
  • Уважно розгляньте приклади на віднімання в правій частині таблиці. Скількома способами виконали віднімання? (Двома)
  • Прокоментуйте перший спосіб розв’язання. (Число 23 замінили сумою розрядних доданків: 20 та 3. Від 54 спочатку відняли 20, а потім 3. Віднімання виконали по частинах)
  • Чи можна було число 23 замінити іншою сумою? (Число 23 можна замінити сумою зручних доданків. Зручними доданками буде 14 та 9)
  • Але добір зручних доданків ще складніший, ніж при додаванні! Тому, у випадках віднімання, так само як і при віднімання, по частинах без переходу через розряд, краще застосовувати лише один вид суми – суму розрядних доданків.
  • Чи має значення, яке число віднімати по частинах? (Так, числа не можна віднімати в будь-якому порядку. Лише число 23 ми можемо замінити сумою!)
  • Визначте істотні та неістотні ознаки віднімання по частинах без переходу через розряд. Що цікавого ви помітили? (Вони такі самі, як і для віднімання по частинах з переходом через розряд!)
  • Уважно розгляньте узагальнену пам’ятку. Чи можна нею користуватися у випадках додавання і віднімання без переходу через розряд? (Так, це загальний спосіб міркування при додаванні і віднімання по частинах.)
 

Завдання 2. Порівняйте вирази у кожному стовпчику:

Завдання 2. Порівняйте вирази у кожному стовпчику
 
  • Чим відрізняються приклади кожного рядка? (В першому рядку додають та віднімають двоцифрові числа. В другому – додають та віднімають двоцифрові числа, але вже із трицифрового числа. В третьому – обидва числа є трицифровими)
  • Обчисліть значення виразів першого рядка.
  • Чи можна так само міркувати для обчислення значень виразів другого рядка?
  • Чи можна так само міркувати при обчисленні значень виразів третього рядка?
  • Який висновок можна зробити про неістотні ознаки застосування прийому додавання і віднімання по частинах? (Неістотним є вид чисел. Числа можуть бути двоцифрові, трицифрові...)
 

Узагальнення прийому порозрядного додавання і віднімання


Продовжуємо працювати з таблицею з завдання 1:

  • Прокоментуйте третій спосіб додаванні в лівій частині таблиці. (Число 54 замінили сумою розрядних доданків: 50 + 4. Число 28 також замінили сумою розрядних доданків: 20 + 8. Десятки додали до десятків: 50 + 20 = 70. Одиниці додали до одиниць: 4 + 8 = 12. Додали отримані суми)
  • Чим цей спосіб міркування відрізняється від додавання по частинах? (Тут обидва числа замінили сумою – це істотна ознака. Тут окремо додавали десятки та окремо одиниці – це істотна ознака. Потім додали отримані результати)
  • Отже, в цьому випадку додавання виконували по розрядах – це порозрядне додавання.
  • Розгляньте другий спосіб додавання в правій частині таблиці. Чи він відрізняється від розглянутого? (Тут не відбувається перехід через розряд)
  • Що в них спільного? (Міркування здійснюються так само)
  • Як треба міркувати при порозрядному додаванні?
Пам'ятка. Порозрядне додавання
 
  • Прокоментуйте другий спосіб віднімання в таблиці праворуч.(Зменшуване 54 замінили сумою розрядних доданків: 50 та 4. Від’ємник 23 замінили сумою розрядних доданків: 20 так 3. Десятки відняли від десятків: 50 – 20 = 30. Одиниці відняли від одиниць: 4 – 3 = 1. Додали отримані результати: 30 + 1 = 31)
  • Визначте істотні ознаки цього прийому віднімання. Що цікавого ви помітили? (Вони такі самі, як і при додаванні без переходу через розряд!)
  • Отже, можна узагальнити прийом порозрядного додавання і віднімання для випадків без переходу через розряд:
Пам'ятка. Порозрядне додавання додавання і віднімання без переходу через десяток
 
  • Чи можна так само міркувати при відніманні з переходом через розряд? (Ні!) Чому? (Тому, що з одиниць зменшуваного не можна відняти одиниці від’ємника.)
  • Як треба міркувати при порозрядному відніманні з переходом через розряд?
Пам'ятка. Порозрядне віднімання з переходом через десяток
 
  • Узагальнимо прийом порозрядного віднімання для випадків з переходом та без переходу через розряд. Що в них спільного? (І зменшуване і від’ємник замінюють сумою. При чому, від’ємник завжди замінюють сумою розрядних доданків. А зменшуване – або сумою розрядних або сумою зручних доданків)
  • Від чого це залежить? (Якщо з одиниць зменшуваного не можна відняти одиниці від’ємника, то зменшуване замінюють сумою зручних доданків)
  • Таким чином , при відніманні треба перевіряти, чи можна з одиниць зменшуваного відняти одиниці від’ємника; від цього залежить вид суми якою будемо замінювати зменшуване.
  • Як виконуються міркування далі? (Далі міркування виконуються однаково: віднімаємо десятки, віднімаємо одиниці й додаємо отримані різниці)
Пам'ятка. Порозрядне віднімання
 

Завдання 2. Порівняйте суми та різниці у кожному стовпчику:

Приклади
 
  • Чим відрізняються приклади в кожному стовпчику? (В першому рядку записані двоцифрові числа, а в другому – трицифрові)
  • Чи можна для випадків другого рядка виконувати міркування так само, як і для випадків першого рядка?
  • Чи можна застосувати прийом порозрядного додавання і віднімання для випадків: 6 + 4 та 8 – 6? (Ні, тому, що це одноцифрові числа, вони містять лише одиниці; тут не має можливості виконувати дії по розрядах!)
  • Який висновок можна зробити про неістотні ознаки застосування прийму порозрядного додавання та віднімання? (Неістотною ознакою є вид чисел: числа можуть двоцифрові, трицифрові... Істотним є те, що цей прийом не можна застосовувати для одноцифрових чисел!)
 

Узагальнення прийому порозрядного додавання на випадки знаходження сум більш, ніж двох чисел


Завдання 3. Обчислити значення сум:

Приклади
 
  • Обчисліть значення першої суми, застосовуючи прийом порозрядного додавання
  • Чим відрізняється друга сума від першої? (В ній не два, а три доданки. Є ще доданок 25)
  • Чи можна при обчисленні цієї суми міркувати так само, як і в першому випадку? Який висновок можна зробити?
Пам'ятка. Порозрядне додавання кількох чисел.
 
  • Чи можна так само міркувати при знаходженні значення суми: 126 + 113 + 154 + 242? (Так, тут треба буде спочатку додати сотні, потім десятки, а потім одиниці; додати отримані суми)
  • Що є неістотним для порозрядного додавання кількох чисел? (Вид цих чисел: це можуть бути двоцифрові, трицифрові... числа)
  • Чи можна так само міркувати при віднімання кількох чисел? (Ні, може статися, що не можна буде відняти одиниці)
 

Ознайомлення з прийом групування навколо одного й того самого «кореневого» числа та його узагальнення


Завдання 4.

Приклади
 
  • Який прийом будемо застосовувати? (Прийом порозрядного додавання. Спочатку додамо усі десятки, потім додамо усі одиниці. Складемо отримані суми)
  • 57 + 54 + 53 + 55 + 54 + 52 + 54 + 50 = (50 + 50 + 50 + 50 + 50 + 50 + 50 + 50) + (7 + 4 + 3 + 5 + 4 + 2 + 4 + 0)
  • Що цікавого ви помітили? (В усіх доданках однакове число десятків. Тому дуже легко знайти суму десятків: по 50 взяти 8 разів, буде 50 * 8 = 400. Складемо одиниці, буде 29. 400 + 29 = 429)
  • Отже, ця сума цікава тим, що усі доданки мають по 5 десятків! Подайте доданки в порядку зростання. (50, 52, 53, 54, 54, 54, 55, 57)
  • До якого числа вони близькі? (До числа 54) Це число вважають «кореневим». За допомогою цього «кореневого числа» ми по-іншому обчислимо значення даної суми.
  • Скільки доданків в сумі? (8) Тому число 54 додамо 8 разів, або коротше 54 * 8 = 432.
  • Порівняйте перший доданок з «кореневим» числом. (57 > 54, на 3) Тобто ми додали на 3 одиниці менше, тому 3 треба додати до отриманої суми: 432 + 3...
  • Порівняйте другий доданок з «кореневим» числом. (54 = 54, відхилення 0) Маємо 432 + 3 + 0...
  • Порівняйте третій доданок з «кореневим» числом. (53 < 54, на 1) Тобто ми додали зайву 1 одиницю, треба її відняти: 432 + 3 + 0 – 1....
  • Порівняйте четвертий доданок з «кореневим» числом. (55 > 54, на 1. Тому треба додати 1: 432 + 3 + 0 – 1 + 1...)
  • Порівняйте п’ятий доданок з «кореневим» числом. (54 = 54, відхилення 0) Маємо 432 + 3 + 0 – 1 + 1 + 0
  • Порівняйте шостий доданок з «кореневим» числом. (52 < 54, на 2, додали зайві 2 одиниці; треба відняти 2) Маємо 432 + 3 + 0 – 1 + 1 + 0 – 2 ...
  • Порівняйте сьомий доданок з «кореневим» числом. (54 = 54, відхилення 0) Маємо 432 + 3 + 0 – 1 + 1 + 0 – 2 + 0
  • Порівняйте восьмий доданок з «кореневим» числом. (50 < 54, на 4. Тому треба відняти 4: 432 + 3 + 0 – 1 + 1 + 0 – 2 + 0 – 4 = 432 – 3 = 429)
  • Які істотні ознаки цього прийому обчислення? (Обирання «кореневого» числа, яке близьке до кожного доданка суми – це істотна ознака)
  • А можна було б взяти за «кореневе число» 53? А 50? А 58? (Істотне – «кореневе» число повинно бути близьким до кожного доданка)
  • Які ще істотні ознаки цього прийому обчислення? (Істотним є те, що спочатку знаходять суму «кореневих» чисел, замінюючи її множенням; потім знаходять «на скільки одиниць більше або менше» доданок, ніж «кореневе» число; якщо більше, то відхилення додають, якщо менше – віднімають)
  • Чи можна цим способом обчислити значення суми: 67 + 32 + 43 + 29? (Ні, ці числа не близькі, і до них важко визначити «кореневе число»! Отже, істотним є те, що за допомогою «кореневого числа» знаходять суму близьких чисел)
  • Чи можна цим способом обчислити суму трьох доданків? Десяти доданків? (Кількість доданків в сумі – це неістотна ознака)
  • Як треба міркувати, застосовуючи прийом групування навколо «кореневого числа»?
Приклади
 
  • Чи можна цей прийом застосовувати при знаходженні значення сум: 234 + 236 + 233 + 230? (Так, можна вибрати «кореневим числом» число 233. Маємо: 233 * 4 = 932. 932 + 1 + 3 + 0 – 3 = 933. 234 + 236 + 233 + 230 = 933)
  • Що є неістотним для застосування прийму групування навколо «кореневого» числа? (Неістотним є вид чисел: це можуть бути двоцифрові, трицифрові... числа)
 

”загальненн¤ прийому округленн¤


«авданн¤ 5. ќбчисл≥ть значенн¤ сум р≥зними способами: 43 + 28.

1 спос≥б по частинах: 43 + 28 = 43 + 20 + 8 = 63 + 8 = 71

2 спос≥б по частинах: 43 + 28 = 43 + 7 + 21 = 50 + 21 = 71

3 спос≥б порозр¤дно: 43 + 28 = (40 + 20) + (3 + 8) = 60 + 11 = 71

  • „и можна знайти цю суму, застосовуючи прийом групуванн¤ навколо Ђкореневого числаї? (÷ей спос≥б застосовувати не доц≥льно, тому що ц≥ числа не Ї близькими. –озгл¤нути способи Ї б≥льш рац≥ональними)
  • яким способом ще можна обчислити значенн¤ ц≥Їњ суми? (—пособом округленн¤)
  • як треба м≥ркувати?

4 спос≥б округленн¤: 43 + 28 = 43 + 30 Ц 2 = 73 Ц 2 = 71

  • „ому треба було в≥дн≥мати 2? (“ому, що ми додали не 28, а 30. 30 б≥льше, н≥ж 28 на 2. ћи додали дв≥ зайв≥ одиниц≥, тому њх треба в≥дн¤ти!)
  • „и можна було зам≥нювати близьким круглим числом перший доданок?(Ќ≥, число 43 в≥дстаЇ далеко в≥д наступного круглого числа 50. ј ¤кщо ми його зам≥нимо меншим круглим числом, то буде 40, а пот≥м треба буде додавати 3 Ц це буде додаванн¤ по частинах!)
  • як≥ числа можна, додавати, зам≥нюючи њх круглим числом? („исла, ¤к≥ близьк≥ до круглого) Ѕудемо вважати близькими до круглого числами, числа, ¤к≥ зак≥нчуютьс¤ цифрою 5 або 6 або 7 або 8 або 9 Ц це ≥стотна ознака застосуванн¤ прийому округленн¤.
  • як≥ ще ≥стотн≥ ознаки прийому округленн¤? (ƒодаЇтьс¤ не саме число, а близьке до нього кругле число. «находитьс¤ на ск≥льки б≥льше додали, ≥ в≥дн≥маЇтьс¤ ст≥льки ж одиниць з отриманоњ суми.)
  • ¬ чому пол¤гаЇ спос≥б округленн¤?
ѕриклади

«авданн¤ 6. «найд≥ть значенн¤ суми, застосовуючи прийом округленн¤: 27 + 59

  • „и можна зам≥нити близьким круглим числом другий доданок? (“ак)

27 + 59 = 27 + 60 Ц 1 = 87 Ц 1 = 86

- „и можна зам≥нити близьким круглим числом другий доданок? (“ак)

27 + 59 = 30 + 59 Ц 3 = 89 Ц 3 = 86

- „и можна зам≥нити обидва доданки, одночасно, близькими до них круглими числами? —пробуйте!

27 + 59 = 30 + 60 Ц 3 Ц 1 = 90 Ц 3 Ц 1 = 87 Ц 1 = 86

- який висновок можна зробити? (якщо обидва доданки зак≥нчуютьс¤ цифрами або 5 або 6 або 7 або 8 або 9, то обидва доданки одночасно можна зам≥нити близькими круглими числами; додати ц≥ кругл≥ числа, а пот≥м в≥дн¤ти ст≥льки одиниць, на ск≥льки б≥льше додали) ќтже дл¤ прийому округленн¤ не Ї ≥стотним, ¤кий з доданк≥в зам≥нювати близьким круглим числом чи обидва доданки одночасно!

- „и можна застосувати прийом округленн¤ дл¤ обчисленн¤ значенн¤ суми: 173 + 59? (“ак, один ≥з доданк≥в зак≥нчуЇтьс¤ цифрою 9!)

173 + 59 = 173 + 60 = 233 Ц 1 = 232

- „им в≥др≥зн¤Їтьс¤ цей випадок додаванн¤ в≥д попереднього? (¬ попередн≥х випадках ми додавали лише двоцифров≥ числа, а в цьому Ц ми до трицифрового числа додавали двоцифрове, також застосовуючи прийом округленн¤)

- ќбчислить значенн¤ суми 397 та 211.
397 + 214= 400 + 214 - 3 = 614- 3 = 611

  • „им цей випадок в≥др≥зн¤Їтьс¤ в≥д попередн≥х? (“ут додавали трицифров≥ числа. ћи також застосували прийом округленн¤. ћожна зробити висновок: прийом округленн¤ можна застосовувати ≥ дл¤ трицифрових чисел)
  • ѕор≥вн¤йте суму чисел 347 та 211 з попередньою. (¬ них р≥зн≥ перш≥ доданки. ¬ попередньому випадку перший доданок був близьким до розр¤дного числа, а в цьому Ц близьке до круглого 350)
  • „и можна дл¤ обчисленн¤ ц≥Їњ суми застосувати прийом округленн¤? (“ак: 347 + 214 = 350 + 214 Ц 3 = 564 Ц 3 = 561)
  • який висновок можна зробити? (≤стотним Ї лише те, щоб один ≥з доданк≥в зак≥нчувавс¤ цифрою або 5 або 6 або 7 або 8 або 9. Ќе≥стотним Ї Ц ¤ке це число: одноцифрове, двоцифрове, трицифрове...)
  • ”загальнимо ≥стотн≥ та не≥стотн≥ ознаки прийому округленн¤:

≤стотн≥:

  1. ќдин чи к≥лька доданк≥в зак≥нчуютьс¤ цифрою 5 або 6 або 7 або 8 або 9.
  2. ÷е число або ц≥ числа зам≥нюють близьким круглим числом.
  3. «наход¤ть, на ск≥льки б≥льше додали, ст≥льки одиниць треба в≥дн¤ти.

Ќе ≥стотн≥:

  1. ¬ид числа, ¤ке зам≥нюютьс¤ близьким круглим числом: одноцифрове, двоцифрове, трицифрове...
  2.  ≥льк≥сть чисел, ¤к≥ можна зам≥нити близьким круглим числом.
  • „и зручно застосовувати прийом округленн¤ дл¤ випадк≥в без переходу через розр¤д? ќбчисл≥ть значенн¤ суми: 53 + 25.
  • 53 + 25 = 53 + 30 Ц 5 = 83 Ц 5 = 78. “ут важко в≥дн≥мати з 85 число 5, тому що зд≥йснюЇтьс¤ перех≥д через розр¤д. (ƒл¤ випадку додаванн¤ без переходу через розр¤д Ї б≥льш рац≥ональн≥ способи обчисленн¤)
  • “аким чином, прийом округленн¤ доц≥льно застосовувати дл¤ випадк≥в додаванн¤ з переходом через розр¤д.

«авданн¤ 7. ѕор≥вн¤йте вирази: чим вони схож≥ ≥ чим в≥др≥зн¤ютьс¤?

54 + 28 та 54 Ц 28

- яким способом можна знайти значенн¤ суми? „ому можна застосувати прийомокругленн¤? «найд≥ть значенн¤ суми округленн¤м.

54 + 28 = 54 + 30 Ц 2 = 84 Ц 2 = 82

- „и можна при в≥дн≥манн≥ число 28 зам≥нити близьким круглим числом 30? (“ак, тод≥ треба буде додати 2, тому що в≥дн¤ли на 2 б≥льше!)

54 Ц 28 = 54 Ц 30 + 2 = 24 + 2 = 26

  • „и можна застосовувати прийом округленн¤ при в≥дн≥манн≥: 58 Ц 24? Ќа в≥дм≥ну в≥д додаванн¤, при в≥дн≥манн≥ зам≥нювати близьким круглим числом можна лише в≥дТЇмник!
  • як≥ ≥стотн≥ ознаки застосуванн¤ прийому округленн¤ при в≥дн≥манн≥? (“реба, щоб в≥дТЇмник зак≥нчувавс¤ цифрою або 5 або 6 або 7 або 8 або 9. “од≥ його зам≥нюють близьким круглим числом. ƒал≥ в≥дн≥мають це кругле число з зменшуваного. ѕот≥м визначають на ск≥льки б≥льше в≥дн¤ли, ст≥льки ж одиниць й додають.)
  • „и можна так само м≥ркувати при в≥дн≥манн≥: 354 Ц 128? (“ак, в≥дТЇмник 128 зак≥нчуЇтьс¤ цифрою 8, тому його можна зам≥нити близьким круглим числом 130...)

354 Ц 128 = 354 Ц 130 + 2 = 224 + 2 = 226

  • „им цей випадок в≥др≥зн¤Їтьс¤ в≥д попереднього?
  • „и можна так само м≥ркувати при в≥дн≥манн≥ 54 Ц 8? ўо в ньому ц≥кавого?
  • яка ж ознака Ї не≥стотною дл¤ застосуванн¤ прийому округленн¤ зменшуваного? (Ќе≥стотним Ї вид в≥дТЇмника: в≥н може бути одноцифровим, двоцифровим, трицифровим... числом)
  • як треба м≥ркувати при в≥дн≥манн≥, застосовуючи прийом округленн¤?
ѕриклади
  • „им в≥др≥зн¤ютьс¤ способи округленн¤ дл¤ в≥дн≥манн¤ та додаванн¤? (ѕри додаванн≥ можна будь-¤кий доданок зам≥нювати близьким круглим числом, а при в≥дн≥манн≥ Ц лише в≥дТЇмник! ѕри додаванн≥ можна один або обидва доданки одночасно зам≥нювати близьким круглим числом, а при в≥дн≥манн≥ Ц лише одне число Ц в≥дТЇмник; зменшуване не можна зам≥нювати круглим числом! ѕри додаванн≥ в≥дхиленн¤ в≥дн≥мають ,а при в≥дн≥манн≥ Ц навпаки Ц додають)
  • ўо сп≥льного у додаванн¤ та в≥дн≥манн¤ способом округленн¤? (¬ обох випадках число зам≥нюють близьким круглим числом, ≥ дал≥ виконують д≥ю вже з круглим числом. ѕот≥м зТ¤совують на ск≥льки б≥льше додали чи в≥дн¤ли ≥ в≥дн≥мають чи додають ст≥льки ж одиниць)
  • —формулюЇмо узагальнену памТ¤тку дл¤ додаванн¤ ≥ в≥дн≥манн¤ на п≥дстав≥ прийому округленн¤:
ѕриклади
 

ќзнайомленн¤ з прийомом винесенн¤ сп≥льного множника за дужки та його узагальненн¤.


«авданн¤ 8. ќбчисл≥ть значенн¤ суми 28 + 20 + 36 + 16.

- як≥ прийоми обчисленн¤ можна застосувати? (ѕрийом порозр¤дного додаванн¤. ѕрийом групуванн¤ навколо Ђкореневогої числа... ¤кби не було числа 36...)

- —пробуйте обчислити значенн¤ суми двома способами.

28 + 20 + 36 + 16 = (20 + 20+ 30 + 10) + (8 + 0 + 6 + 6) = 80 + 20 = 100

28 + 20 + 36 + 16 = 20 Х 4 + 8 + 0 + 16 Ц 4 = 80 + 8 + 16 Ц 4 = 100

- ѕроанал≥зуЇмо доданки суми. ўо в них сп≥льного? (”с≥ ц≥ числа д≥л¤тьс¤ на 4 нац≥ло). якщо ц≥ числа д≥л¤тьс¤ на 4 нац≥ло, то њх можна подати у вигл¤д≥ добутку числа 4 та ще ¤когось числа:

28 + 20 + 36 + 16 = 4 Х 7 + 4 Х 5 + 4 Х 9 + 4 Х 4

- який вигл¤д маЇ правило множенн¤ суми на число дл¤ випадку чотирьох доданк≥в?

ѕриклади

- ÷е правило справедливо, ¤к зл≥ва направо, так ≥ справа нал≥во. ѕор≥вн¤йте л≥ву частину ц≥Їњ р≥вност≥ ≥ наш останн≥й запис. ўо ц≥кавого ви пом≥тили? як його можна перетворити?

28 + 20 + 36 + 16 = 4 Х 7 + 4 Х 5 + 4 Х 9 + 4 Х 4 = 4 Х (7 + 5 + 9 + 4) = 4 Х 25 = 100

- ќтже, ¤кщо доданки мають сп≥льний множник, то його можна винести за дужки; знайти суму у дужках, ≥ отримане число помножити на сп≥льний множник.

- „и можна так само м≥ркувати при в≥дн≥манн≥ к≥лькох чисел? ”важно розгл¤ньте розвТ¤занн¤ приклад≥в:

724 Ц 148 = 4 Х (181 Ц 37) = 4 Х 144 = 2 Х 2 Х 144 = 2 Х 288 = 576

91 Ц 35 Ц 28 = 7 Х (13 Ц 5 Ц 4) = 7 Х 4 = 28

- який висновок можна зробити? (якщо числа при в≥дн≥манн≥ мають сп≥льний множник, то його можна винести за дужки; знайти р≥зницю у дужках, ≥ отримане число помножити на сп≥льний множник)

- ѕор≥вн¤йте додаванн¤ ≥ в≥дн≥манн¤ способом винесенн¤ сп≥льного множника. ўо ц≥кавого ви пом≥тили?

“аким чином, нами запропоновано методику узагальненн¤ обчислювальних прийом≥в усного додаванн¤ ≥ в≥дн≥манн¤ в межах 1000 на п≥дстав≥ емп≥ричних узагальнень , способом паралельного пор≥вн¤нн¤ ≥ застосуванн¤ протиставл¤ючоњ абстракц≥њ, ¤ка Ї основою двофазних узагальнень.

–озроблена методика узагальненн¤ прийом≥в усного додаванн¤ ≥ в≥дн≥манн¤ п≥д час вивченн¤ теми Ђѕовторенн¤ матер≥алуї в 4(3)клас≥, передбачаЇ:

  • узагальненн¤ прийому додаванн¤ ≥ в≥дн≥манн¤ по частинах дл¤ випадк≥в з переходом та без переходу через розр¤д;
  • узагальненн¤ прийому порозр¤дного додаванн¤ дл¤ випадк≥в без переходу та з переходом через розр¤д;
  • узагальненн¤ прийому порозр¤дного в≥дн≥манн¤ на випадки в≥дн≥манн¤ без та з переходом через розр¤д;
  • узагальненн¤ прийму порозр¤дного додаванн¤ на випадки додаванн¤ б≥льш двох доданк≥в;
  • ознайомленн¤ з прийомом групуванн¤ навколо одного ДкореневогоФ числа та його узагальненн¤;
  • узагальненн¤ прийому округленн¤ при додаванн≥ ≥ при в≥дн≥манн≥ з переходом через розр¤д;
  • ознайомленн¤ з прийомом винесенн¤ сп≥льного множника за дужки та його узагальненн¤.