Сюжетные математические задачи являются моделями жизненных ситуаций, связующим звеном между разнообразными сюжетами реального мира и строгими формами математических выражений и операций. Сюжетные математические задачи являются полигоном для распознавания проблемных ситуаций, возникающих в окружающей среде, которые можно решить математическими средствами. Таким образом, формируя общие способы и методы решения сюжетных математических задач мы учим детей определенным образом действовать, на основе математических знаний, в ситуациях, возникающих в повседневной жизни.

Поиски моделей обучения решения сюжетных задач, адекватных современным требованиям общества, потребностям и интересам личности, составляют одну из актуальных проблем методики обучения математики. В методической литературе освещаются разные аспекты формирования у младших школьников умений решать задачи. Среди них можно выделить: совершенствование системы математических задач, предлагающихся в начальной школе (М.В. Богданович, Г.П. Лишенко); вооружение учеников методами анализа сюжетных задач: предлагается широкое применение опорных схем (С.Н. Лисенкова, А.И. Мартинова), схематических рисунков (А.К. Артемов, Н.Б. Истомина, В.В. Малихина, Л.Г. Петерсон, С.Е. Царева), схем анализа или синтеза (А.К. Артемов, М.О. Бантова, М.И. Бурда, А.И. Мартинова); формирование умения решать задачи разными способами (Г.Г. Шульга, Р.Н. Шикова), работа по преобразованию задач после их решения (Л.И. Шорникова, С.Е. Царева и другие); использование разных форм организации учебного процесса: дифференцированной (О.В. Баринова, В.А. Мизюк), коллективной (Е.С. Казько) и др.

Методическую систему обучения младших школьников решению сюжетных задач мы рассматриваем как такую, которая направлена на формирование общего умения и умений решения задач отдельных видов. Методическая система рассматривается как совокупность пяти взаимосвязанных компонентов (А.М. Пишкало): целей, содержания, методов, организационных форм и средств обучения. Целью статьи является характеристика этих компонентов.

Целью обучения согласно предлагаемой методической системе является формирование у младших школьников умений решать сюжетные задачи, проявляющееся в возможности учеников успешно решать задачу любой математической структуры начального курса математики. Достижение цели возможно при условиях решения следующих заданий:

• формирования у детей общего умения решать задачи;
• формирования у учеников умений решать задачи определенных видов;
• развития мышления школьников.
  

Системообразующим фактором методической системы – содержанием обучения – являются виды простых и составных задач. Согласно действующей программе по математике выпускники начальной школы прежде всего должны уметь решать простые задачи, содержащие соотношение сложения (объединения частей в целое), вычитания (исключения части из целого), перехода от одной единицы счета или измерения к другой, разбиения целого на равные части, разностного или кратного сравнения, взаимозависимости между значениями разных величин, нахождения части от целого. Они должны также уметь решать составные задачи в 3-4 действия одной или разных ступеней, а также «типовые» задачи на нахождение четвертого пропорционального, на двойное приведение к единице, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестных по двум разностям, на совместную работу, на одновременное движение в разных направлениях (навстречу и в противоположных направлениях).

Задачи на нахождение среднего арифметического, на одновременное движение в одном направлении (вдогонку и с отставанием), на неодновременное движение в разных или в одном направлении, на движение по течению и против течения реки, на совместную работу, в которых производительность совместной работы находят действием вычитания, хотя и рассматриваются в курсе математики начальной школы, но в обязательный минимум не входят. Типы и виды задач, выходящие за пределы программного минимума, могут быть отнесены к вариативному компоненту и предлагаться, при наличии резерва времени, для углубленного изучения курса, для обучения способных и одаренных детей.

Главным методом обучения младших школьников решению сюжетных задач является частично поисковый, причем базирующейся на особенных системах взаимосвязанных учебных задач. Эти системы построены таким образом, чтобы побуждать ученика выполнять операции сравнения, абстрагирования, обобщения, то есть направлены на развитие мышления ребенка. В описываемых системах нами реализован тезис А.М. Астряба о необходимости раскрытия связей между задачами разных типов и видов и приучивания школьников связывать каждую новую задачу с ранее решенной. Между тем, на первых этапах используются репродуктивные методы обучения.

Основными формами обучения младших школьников решению задач является фронтальная работа учителя с классом во время ознакомления с задачами определенного типа или вида, индивидуальная и групповая работа учеников над задачами. Во время индивидуальной и групповой работы осуществляется дифференциация обучения через дифференциацию дозы помощи ученикам или дифференциацию задач по уровню их сложности. Дифференциацию дозы помощи удобно реализовать, применив карточки с печатной основой.

Основным средством обучения младших школьников решать сюжетные задачи являются репрезентативные модели и модели решения. Репрезентативные модели появляются в виде краткой записи задачи (схемы или таблицы) или в виде схематического рисунка; модели решения – в виде схем анализа или синтеза. К средствам обучения решению задач мы относим также дидактичные материалы: тексты памяток, карточки с печатной основой, опорные схемы простых и составных задач, опорные схемы «типовых» задач, обобщенные планы их решения и тому подобное.

Предложенная методическая система содержит две подсистемы:

• методику формирования общего умения решать задачи;
• методику формирования у младших школьников умений решать задачи определенных видов.

Методика формирования общего умения решать задачи реализуется: на материале простых задач; на материале составных задач; на материале задач, содержащих пропорциональные величины, на нахождение суммы или разностное или кратное сравнение двух произведений или частных и обратных к ним. Методика формирования у младших школьников умений решать задачи определенных видов реализуется:

• на материале задач, содержащих одинаковую (постоянную) величину для двух случаев (задач на нахождение четвертого пропорционального, задач на пропорциональное деление, задач на нахождение неизвестных по двум разностям, задач на двойное приведение к единице);
• на материале задач на процессы (на совместную работу и на движение);
• на материале задач на нахождение среднего арифметического.

Представленные составляющие реализуются с помощью соответствующих систем учебных задач, разработанных для определенного года обучения или/и вида задачи, следовательно они также могут рассматриваться как системы. Компоненты методической системы взаимосвязаны, взаємообусловлены и взаимозависимы.

В предлагаемой методической системе обучения младших школьников решению задач предусмотрена поэтапная отработка действий, составляющих общее умение. Определенно на разных этапах обучения возможные состояния формирования определенного действия и содержание учебных заданий, с помощью которых достигается желаемое состояние. Кроме того, представлено содержание учебных заданий, с помощью которых осуществляется обобщение математической структуры «типовых» задач и способов их решения.

Теоретической основой методики формирования у младших школьников общего умения решать задачи являются сформулированные Л.М. Фридманом требования к процессу формирования умственных действий, обеспечивающие высокую эффективность обучения навыкам и умениям, а также теория поэтапного формирования умственных действий и понятий П.Я. Гальперина, отвечающая этим требованиям.

Формирование общего умения решать простые (или составные) задачи строится на определенном нами операционном составе общего умения решать задачи (соответственно на материале простых или составленных задач) и происходит по этапам, которые являются общепринятыми в методической науке:

• І этап – подготовительная работа к введению понятия «задача» (или «составная задача»);
• ІІ этап – ознакомление с понятием «задача» (или «составная задача»), структурными элементами задачи и этапами ее решения;
• ІІІ этап – формирование общего умения решать любые простые (или составные) задачи.

С целью предупреждения шаблонного и поэтому неадекватного подхода учеников к решению отдельных видов простых задач расширен круг вопросов подготовительного этапа: кроме формирования конкретного смысла арифметических действий сложения и вычитания, предлагается конкретный смысл отношения разностного сравнения, увеличения или уменьшения числа на несколько единиц, а также правило нахождение неизвестного слагаемого; дети учатся выполнять соответствующие схематические рисунки. Это дает возможность вводить понятие «задача» не только на задачах на нахождение суммы и разности, как это делается традиционно, а на материале первых пяти видов задач – задачах на нахождение суммы, на нахождение разности, на увеличение или уменьшение числа на несколько единиц, на разностное сравнение, на нахождение неизвестного слагаемого. Именно работа сразу над пятью видами простых задач ставит учеников в условия сознательного выбора арифметического действия и исключает заучивание способа решения задач отдельных видов. Необходимость выбора арифметического действия определяет осуществление анализа текста задачи: выделения условия и вопроса, числовых данных и искомого, связей между ними, слов-признаков, на которые следует опираться при составлении схематического рисунка (а позже для выбора вида математического соотношения) и выбора арифметического действия для решения задачи.

Нами разработана программа ознакомления первоклассников с понятием задачи и соответствующая система заданий, которые направлены на овладение учениками семантическим анализом текста задачи и представления результатов этого анализа в виде репрезентативной модели – схематического рисунка, а также на обоснование, на этой основе, выбора арифметического действия, с помощью которого решается задача. Программа формирования умений решать простые задачи распространяется на 1-4^-й класс и реализуется с помощью соответствующих систем учебных задач.

На базе вышеуказанных теоретических основ разработана программа и методика формирования общего умения решать составные задачи, в которой определена цель и содержание каждого из отмеченных этапов. В результате исследования установлена необходимость проведения целенаправленной подготовки к введению понятия составной задачи, во время которой с помощью специальных заданий у детей формируются представления: о том, что по двум определенным числовым данным можно ответить на несколько вопросов; о том, что разные задачи могут иметь одинаковые решения; о невозможности ответить на вопрос задачи, если числовых данных недостает; о необходимости выбора числовых данных для ответа на вопрос задачи; о существовании задач, на вопрос которых нельзя ответить сразу; о существовании задач, которые состоят из двух простых задач, которые связаны по содержанию; о том, что анализ (имеется ввиду поиск решения) может состоять из двух циклов, каждый из которых отвечает определенной из двух простых задач; и осуществляется первичное ознакомление и формирование в материализованной форме отдельных действий, которые составляют общее умение решать составные задачи.

Для предупреждения запоминания учениками способа решения составных задач отдельных математических структур, как это происходит во многих случаях, ознакомление с понятием «составная задача» и процессом ее решения целесообразно осуществлять на разнообразных математических структурах задач. Нами доказано, что такой подход побуждает учеников к усвоению действий по решению задачи, а не к заучуванию плана решения.

Целью этапа ознакомления младших школьников с понятием «составная задача» является формирование трех новых действий: проведение аналитического поиска решения задачи, во время которого следует выбирать пару числовых данных для ответа на определенный вопрос; выделение, сначала на схеме анализа, а затем словесная формулировка каждой простой задачи, из которых состоит данная задача; составление плана решения задачи. Существенным в организации деятельности учеников на этапе ознакомления с понятием «составная задача» (как и понятие «задача») есть ее направленность не на решение каждой конкретной задачи, а на овладение определенными действиями, на овладение этим понятиям.

Нами обоснована целесообразность формирования общего умения решать составные задачи соответственно программы, которая реализуется с помощью систем учебных задач для 2-го, – 4-го классов. Обучение решению составных задач осуществляется на разнообразных математических структурах задач, не сосредоточиваясь на отработке решения задачи определенной структуры. Существенным в методике ознакомления с задачами новой математической структуры является введение их на основе или сравнение с похожими простыми задачами, или на основе продолжения сюжета простой задачи, или на основе изменения вопроса простой задачи к данному условию, или на основе изменения условия или вопроса составной задачи известной математической структуры. Таким образом, исследуется влияние этих изменений на решение задачи; задачи новой математической структуры сопоставляются с задачами уже известными, что облегчает их усвоение. Кроме того, нами применен и такой методический прием, когда задача новой структуры подается без сопоставления с известными структурами, что побуждает к воспроизведению полного состава действий, которые содержит общее умение решать составные задачи.

На задачах на нахождение суммы или разностное (кратное) сравнение двух произведений или частных, которые вводятся в 3-ем классе, происходит совершенствование общего умения решать задачи согласно теории поэтапного формирования умственных действий и понятий на основе ІІІ-го типа обучения (П.Я. Гальперин) с системным типом ориентировки (З.О. Решетова). Нами доказано, что такой подход предоставляет возможность на следующем этапе обучения построить методику работы над «типовыми» задачами путем их всестороннего исследования и обобщения математической структуры и способа решения на основе теории содержательных обобщений (В.В. Давидов) и ее приложения к обучения учеников решать задачи определенных видов.

Методика формирования у младших школьников умений решать задачи определенных видов построена на данной нами характеристике этих умений через комплекс умений низшего порядка, среди которых основными являются: умение соотносить данную задачу из ранее изученными и узнавать задачу изученной математической структуры; умение актуализировать обобщенный способ решения задач данного вида, а затем его реализовывать.

Чтобы соотнести данную задачу с ранее изученными и узнать задачу изученной математической структуры, а также актуализировать обобщенный способ решения задач этого вида, ученик должен знать разнообразные математические структуры «типовых» задач и обобщенных способов их решения. При наличии знаний о видах задач и способах их решения успешность решения «типовых» задач зависит, в первую очередь, от качества ориентировочной деятельности школьника. Между тем, качество самой ориентировочной деятельности определяется качеством представления схемы того действия, которая по этой схемой потом выполняется. Учитывая это мы избрали теоретической основой методики формирования у младших школьников умений решать «типовые» задачи теорию содержательных обобщений В.В. Давидова; ее реализация в ходе обучения учеников решению «типовых» задач осуществляется на основании ІІІ типа ориентировки по П.Я. Гальперину, методом системно структурного анализа З.О. Решетовой.

Нами обоснована целесообразность изучения задач, содержащих одинаковую величину, задач на процессы, задач на нахождение среднего арифметического по соответствующим программам, реализующихся с помощью систем учебных задач - цепочек вспомогательных задач, подобранных таким образом, чтобы их последовательное решение естественно привело ученика к определению и обобщению способа решения задачи определенного вида. В программах учтены и дополнительные вопросы для углубленного изучения математики.

Программа изучения задач, содержащих одинаковую (постоянную) величину и методика обучения их решению реализуется в 3-4^-м классах. Методика формирования у младших школьников умений решать задачи на нахождение четвертого пропорционального (3-4^-й класс) предусматривает исследование задачи на следующих уровнях: через изменение группы пропорциональных величин; изменение числовых данных; изменение одинаковой величины; изменение искомой величины при определенной одинаковой величине, при чем каждый раз определяется влияние произведенного изменения, на план решения задачи; исследование посредством изменения числовых данных задачи с целью применения другого способа решения позволяет определить условия применения каждого способа. Таким образом определяются существенные признаки задач на нахождение четвертого пропорционального и обобщаются способы решения: способ нахождения одинаковой величины для двух случаев и способ отношений; устанавливаются возможности применения каждого из них.

Методика формирования умений решать задачи на пропорциональное деление и задачи на нахождение неизвестных по двум разностям (4 класс) построена по единому плану, в котором реализованы следующие аспекты:

• Для осознания учениками связи задач на нахождение четвертого пропорционального (на пропорциональное деление) и задач на пропорциональное деление (на нахождение неизвестных по двум разностям) осуществляется преобразование задачи известного вида в задачу нового вида.
• Исследование задачи реализуется путем: изменения величин или числовых данных задачи, изменения искомых, изменения одинаковой величины и определение влияния этих изменений на план решения задачи.

Такой всесторонний анализ приводит к обобщению существенных признаков задач этих видов и обобщение плана их решения способом нахождения одинаковой величины.

К обязательным для всех учеников вопросам не принадлежат исследование задач на пропорциональное деление и задач на нахождение неизвестных по двум разностям посредством изменения одинаковой величины, а также сравнение задач на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление и на нахождение неизвестных по двум разностям с целью определения общих существенных признаков их математических структур и обобщения способа решения. Этот учебный материал предлагается для углубленного изучения математики способными и одаренными учениками.

Аналогичным способом построена методика обучения младших школьников решению задач на двойное приведение к единице, с тем отличием, что исследование задач этого вида не происходит посредством изменения одинаковой величины. С целью определения связи между задачами на нахождение четвертого пропорционального и на двойное приведение к единице, задача на нахождение четвертого пропорционального, в которой одинаковой (постоянной) является величина одной единицы измерения, преобразуется в задачу на двойное приведение к единице, и сравниваются их решения, определяются общие существенные признаки и обобщается способ решения – но этот вопрос не отнесен к обязательным.

Программа изучения задач на процессы и методика обучения решению задач этого типу реализуется в 3-4^-х классах. Соответственно действующей программы сначала происходит обучение младших школьников решению задач на совместную работу, а затем – на одновременное движение. Для повышения эффективности формирования умений решения задач этих видов, нами доказана целесообразность обобщения математических структур и способов решения задач на совместную работу и на движение; причем методика разработана нами на основании сравнения задач на совместную работу и задач на движение (последовательного и параллельного по А.К. Артемову).

Формирование у учеников умения решать задачи на совместную работу осуществляется в 3^-ем и 4^-ом классах, что объясняется несколько отличными математическими структурами задач этого вида: так в 3^-ем классе предлагаются задачи на совместную работу, в которых дано производительности каждого исполнителя, а в 4^-ом – не дана производительность каждого исполнителя, она является промежуточной неизвестной. Исследование задач на совместную работу происходит согласно следующим изменениям: изменением ситуации задачи; изменением числовых данных задачи; изменением искомого задачи; изменением «характера действий» исполнителей. Такое исследование задачи является могучим средством определения существенных признаков математической структуры и обощения плана решения задачи.

При формировании у младших школьников умений решать задачи на движение нами доказана эффективность применения подхода, когда задачи на одновременное движение навстречу и одновременное движение в противоположных направлениях рассматриваются вместе, сначала решаются задачи на нахождение расстояния и скорости первым способом, и после усвоения первого способа, вводится второй способ и изучаются задачи на нахождение времени. Исследование задач на одновременное движение происходит соотвественно следующим изменениям: изменением направления движения тел; изменением числовых данных задачи; изменением искомого. Определение влияния этих изменений на математическую структуру задачи и план ее решения помогает ученикам сформулировать существенные признаки задач на одновременное движение в разных направлениях и обобщить план их решения. Среди дополнительных вопросов главное место занимает обобщение математических структур и способов решения задач на совместную работу и на движение в разных направлениях, изучение задач на движение в одном направлении с последующим обобщением математических структур и способов решения задач на совместную работу (в которых производительность совместного труда находят действием вычитания) и задач на движение вдогонку.

Нами разработана программа и система учебных задач по формированию умений решать задачи на нахождение среднего арифметического. Доказана целесообразность исследования задач этого типа посредством следующих изменений: изменение ситуации задачи (например, задача на нахождение средней температуры преобразуется в задачу на нахождение средней длины); изменение числовых данных задачи; преобразование задачи, содержащей несколько значений одной и той же величины, в задачу (усложненную), которая содержит группу пропорциональных величин. Выполнив определеные изменения, ученики исследуют их влияние на математическую структуру и план решения задачи.

Таким образом, нами предложена методическая система обучения младших школьников решению задач, дальнейшего исследования требуют отдельные ее элементы и практическая реализация в учениках по математике для начальной школы.