Процес узагальнення протікає шляхом порівняння двох або більше об’єктів за їх спільними істотними ознаками з метою отримати узагальнений висновок (емпіричне узагальнення). Паралельне порівняння характеризується тим, що відразу, одночасно подаються декілька зразків, що відображують усі або найбільш типові варіанти з даної сукупності, щоб на підставі їх порівняння зробити вірне узагальнення. Тут навчальна задача полягає в тому, щоб на підставі паралельного вивчення поданих зразків виявити узагальнений спосіб дії, тобто алгоритм розв’язування задач даного класу. Щоб це відбувалося слід пропонувати учням такі зразки, в яких відображуються типові випадки для даної теми, в тому числі контрастні зразки, які вивчаються в подальшому навчанні. Це необхідна умова подолання вузького узагальнення.

Е.Н.Кабановою-Меллер доведено, що «двофазні узагальнення» на підставі протиставляючої абстракції найбільш ефективні в навчальному процесі: перша фаза узагальнення - називаються і узагальнюються істотні ознаки, друга фаза узагальнення - відокремлюються і узагальнюються неістотні ознаки. В.Н. Осинська пропонує методичну схему двофазних узагальнень, яка містить таку послідовність дій:

1. співставити задані предмети;
2. виділити в них спільні істотні ознаки;
3. сформулювати загальні ознаки у вигляді першого висновку (перша фаза);
4. співставити ті ж самі предмети;
5. виділити неістотні ознаки і визначити межи їх варіації;
6. сформулювати висновок:
7. узагальнити неістотні ознаки (друга фаза).

Під час вивчення теми «Повторення матеріалу» існує можливість узагальнити усні прийоми додавання і віднімання в межах 1000: узагальнити прийоми додавання і віднімання двоцифрових чисел і перенести їх на випадки додавання і віднімання трицифрових чисел. Для додавання і віднімання двоцифрових чисел застосовуються обчислювальні прийоми:

1. додавання і віднімання по частинах;
2. порозрядне додавання і віднімання;
3. прийом округлення.

Крім того, існує можливість познайомити учнів з раціональними прийомами додавання і віднімання. Розглянемо докладно методику узагальнення обчислювальних прийомів додавання і віднімання в межах 1000.

Узагальнення прийому додавання і віднімання по частинах

Завдання 1. Уважно розгляньте приклади, подані у таблиці:

• Порівняйте приклади в лівій частині таблиці. (Ці приклади відрізняються тим, що одні приклади на додавання, а інші – на віднімання. Спільне те, що і при додаванні і при віднімання відбувається перехід через розряд)
• Порівняйте приклади в правій частині таблиці.(Ці приклади також відрізняються арифметичною дією: додавання і віднімання. Але приклади і на додавання і на віднімання без переходу через розряд)
• Уважно розгляньте приклади на додавання в лівій частині таблиці. Що цікавого ви помітили? (Це різні способи знаходження суми чисел 54 та 28)
• Скількома способами знайшли суму 54 та 28? (Трьома)
• Як виконали додавання у першому випадку? (Число 28 замінили сумою розрядних доданків, і до 54 спочатку додали 20, а потім 8. Додавання виконали по частинах)
• Як виконали додавання у другому випадку? (Число 28 замінили сумою зручних доданків 6 та 22; спочатку до 54 додали 6, щоб отримати кругле число, а потім додали 22. Додавання виконували по частинах)
• Порівняйте обидва випадки між собою. Що в них спільне? (Спільне, те що число 28 додавали по частинах)
• Що відмінне? (Число 28 в першому випадку заміняли сумою розрядних доданків, а в другому – сумою зручних доданків)
• Який висновок можна зробити? (Числа можна додавати по частинах, розкладаючи одне число на суму – це істотна ознака прийому додавання по частинах. При чому це може бути або сума зручних доданків; або сума розрядних доданків (вид суми – це неістотна ознака прийму додавання по частинах)
• Чи можна було перший доданок 54 замінити сумою та додати по частинах? (Так, числа можна додавати в будь-якому порядку: можна 28 додавати частинами або 54 додавати частинами. Число 54 можна було замінити або сумою розрядних доданків: 50 + 4, або сумою зручних доданків: 2 + 52)
• Який висновок можна зробити для додавання по частинах? (Можна замінювати сумою будь-який доданок. Який по порядку доданок замінюється сумою – це неістотна ознака прийму додавання по частинах)
• Отже при додаванні по частинах істотним є заміна одного з доданків сумою; неістотною є вид суми та порядок доданка, який нею замінюється.
• Скількома способами знайшли різницю чисел 54 та 28? (Трьома)
• Як виконали віднімання у першому випадку? (Число 28 замінили сумою розрядних доданків, і із 54 спочатку відняли 20, а потім 8. Віднімання виконали по частинах)
• Як виконали віднімання у другому випадку? (Число 28 замінили сумою зручних доданків 24 та 4; спочатку із 54 відняли 24, щоб отримати кругле число, а потім відняли 4. Віднімання виконували по частинах)
• Порівняйте обидва випадки між собою. Що в них спільне? (Спільне, те що число 28 віднімали по частинах)
• Що відмінне? (Число 28 в першому випадку заміняли сумою розрядних доданків, а в другому – сумою зручних доданків)
• Який висновок можна зробити? (Числа можна віднімати по частинах, розкладаючи від’ємник на суму – це істотна ознака прийому віднімання по частинах. При чому це може бути або сума зручних доданків; або сума розрядних доданків (вид суми – це неістотна ознака прийму додавання по частинах)
• А можна було, як при додаванні по частинах, замінити сумою не друге число – від’ємник , а перше – зменшуване? (Ні, не можна. Числа не можна віднімати в будь-якому порядку. Тому, лише від’ємник можна замінити сумою – це істотна ознака прийму віднімання по частинах)
• Отже при відніманні по частинах істотним є заміна від’ємника сумою; а неістотним є вид суми – або це сума розрядних або зручних доданків.
• Ми визначити істотні та неістотні ознаки прийому додавання і віднімання чисел по частинах для випадків з переходом через розряд. Узагальнимо прийом виконання дій по частинах для випадків додавання і віднімання з переходом через розряд:

• Уважно розгляньте приклади на додавання в правій частині таблиці. Що цікавого ви помітили? (Це різні способи знаходження суми чисел 54 та 23)
• Прокоментуйте перший спосіб розв’язання. (Число 23 замінили сумою розрядних доданків: 20 та 3. До числа 54 спочатку додали 20, а потім 3. Додавання виконали по частинах)
• Чи можна було число 23 замінити іншою сумою? (Число 23 можна замінити сумою зручних доданків. Зручними доданками буде 6 та 17)
• Але добір зручних доданків декілька складний! Тому, у випадках додавання по частинах без переходу через розряд, краще застосовувати лише один вид суми – суму розрядних доданків.
• Чи має значення, яке число додавати по частинах? (Ні, можна число 54 замінити сумою розрядних доданків: 50 та 4 та почергово додати до 23)
• Визначте істотні та неістотні ознаки додавання по частинах без переходу через розряд. Що цікавого ви помітили? (Вони такі самі, як і для додавання по частинах з переходом через розряд!)
• Уважно розгляньте приклади на віднімання в правій частині таблиці. Скількома способами виконали віднімання? (Двома)
• Прокоментуйте перший спосіб розв’язання. (Число 23 замінили сумою розрядних доданків: 20 та 3. Від 54 спочатку відняли 20, а потім 3. Віднімання виконали по частинах)
• Чи можна було число 23 замінити іншою сумою? (Число 23 можна замінити сумою зручних доданків. Зручними доданками буде 14 та 9)
• Але добір зручних доданків ще складніший, ніж при додаванні! Тому, у випадках віднімання, так само як і при віднімання, по частинах без переходу через розряд, краще застосовувати лише один вид суми – суму розрядних доданків.
• Чи має значення, яке число віднімати по частинах? (Так, числа не можна віднімати в будь-якому порядку. Лише число 23 ми можемо замінити сумою!)
• Визначте істотні та неістотні ознаки віднімання по частинах без переходу через розряд. Що цікавого ви помітили? (Вони такі самі, як і для віднімання по частинах з переходом через розряд!)
• Уважно розгляньте узагальнену пам’ятку. Чи можна нею користуватися у випадках додавання і віднімання без переходу через розряд? (Так, це загальний спосіб міркування при додаванні і віднімання по частинах.)

Завдання 2. Порівняйте вирази у кожному стовпчику:

• Чим відрізняються приклади кожного рядка? (В першому рядку додають та віднімають двоцифрові числа. В другому – додають та віднімають двоцифрові числа, але вже із трицифрового числа. В третьому – обидва числа є трицифровими)
• Обчисліть значення виразів першого рядка.
• Чи можна так само міркувати для обчислення значень виразів другого рядка?
• Чи можна так само міркувати при обчисленні значень виразів третього рядка?
• Який висновок можна зробити про неістотні ознаки застосування прийому додавання і віднімання по частинах? (Неістотним є вид чисел. Числа можуть бути двоцифрові, трицифрові...)